矩阵的秩的应用-高等代数 | 第四章 矩阵–矩阵的秩

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摘要：本文就矩阵的秩不等式进行的讲解分析，秩不等式常常作为考研的热点考察内容，不仅与线性方程组具有联系，而且在之后的线性变换也会有所应用，希望大家务必重视，熟练掌握本节的所有内容.

定理 1. 设 A 是数域 P 上的 s × n 矩阵，B 是数域 P上的 n × m 矩阵，于是

即乘积的秩不超过各因子的秩.

证明：设 A 的列向量组是

则

上式表明，AB的列向量组可以由A的列向量组线性表出，因此，AB的列秩小于等于A的列秩.即

利用上面这个结论同理可得

综上所述可得

推论 1. 如果

那么

定理 2.

证明：设A,B的列向量组分别为

则A+B的列向量组为

设

是向量组 的一个极大线性无关组;设 是向量组 的一个极大线性无关组.则可由向量组

线性表出，因此

于是

定理 3 .

岩宝小提示：此命题很重要，这里留给大家自己证明.

定理 4. 证明：

则

证明：

由于 所以

从而

定理 5.

例1. 设A是n阶方阵,证明：

证明: 可以证明方程组

有完全相同的解.

事实上，若

则左乘 A 得到 即 的解都是 的解.

反之，若

则必有否则,反证: 设 则 n+1 个 n 元向量

线性无关.(因为若

依次用

左乘上式可得矛盾.所以 因此 的解也都是 的解，所以

同理可得

岩宝小提示：根据本题来看，我们应该学会一种思路，在证明矩阵秩相等的时候，应该想到巧用线性方程组的同解去解决问题.

例 2. 设 A 和 B 都是 m × n 矩阵，证明: 若 AB = 0, 则

证明：设

则由AB=0，可知，B的每一个列向量都是以A为系数方阵的齐次线性方程组的解向量.

当r=n时，由于该齐次线性方程组只有零解，故此时B=0,即此时

此时结论成立。

当 r < n 时，该齐次线性方程组的基础解系中含 n-r 个向量,从而B的列向量组的秩小于等于n-r. 即

所以

岩宝小提示：我们在处理秩不等式的时候，要联想到利用齐次线性方程组AX=0中系数矩阵的秩和基础解系的关系去处理.

例3.（2020中国科学院大学）设A是n阶方阵.证明：若

则

练习：利用分块矩阵证明本题。

证明：因为

则有

由例2可得，

另一方面，有

故得

岩宝小提示：在我们处理这一类问题的时候，要想到分开证明，分大于等于和小于等于两方面进行突破即可.

例4. （2020 兰州大学）设 A, B, C 依次是 m × n, n × s, s × t 矩阵. 证明不等式:

证明: 设 分别为 s, t 阶单位矩阵，则由于

且

是可逆矩阵，故

从而

岩宝小提示：本题强调

可逆的原因是，对于一个矩阵而言，我们左乘或者右乘一个可逆矩阵，不会改变原矩阵的秩.

例5. （2020 湖南师范大学）设 A 为 m × n 矩阵，B 为 n × s 矩阵. 证明:

证明：设E为n阶单位方阵矩阵的秩的应用， 为 s 阶单位方阵，则由于

因为

可逆，故

从而

岩宝同步思考题

1.（2012武汉大学）设A,B为同阶方阵，证明：

2.（2020北京师范大学）设A是实矩阵，证明：

提示：转化为同解线性方程组.

3.设A,B都是任意的n阶矩阵，证明：

4.（2020中国海洋大学）设A为n阶方阵，证明：

（1）若k为正整数， 是 的解，当 不是 的解时，则 线性无关.

（2）当正整数 时矩阵的秩的应用，必有

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