注：本文是《机器学习数学基础》的补充内容，供对函数了解较少或者遗忘较多的读者参考。(关于这本书的介绍说明，请查看本微信号的菜单“书籍”-“机器学习数学基础”）
从初中代数，就已经引入了函数这个概念，其英文单词是function，中文翻译为函数，这个词语是由大清朝数学家李善兰所翻译，他在所著的《代数学》书中解释：“凡此变数中函（包含）彼变数者，则此为彼之函数”（台湾省的有关资料中，常将变量称为“变数”）。
函数这个数学名词是莱布尼兹在1694年开始使用的，当时他用这个名词描述与曲线相关的量，如曲线的斜率等。现在，我们将莱布尼兹所说的函数称为函数的导数。此后，很多数学家对函数做了深入研究，并且给出了不同的定义，例如：
函数及其图像
函数是一种用以描述世界的工具。一个函数，可以用表达式、图像、表格或者语言进行描述。
函数及其定义域和值域
定义 函数是从一个集合 到另一个集合 间的对应法则，通常记作记作 ，其中 表示对应法则。
更一般的写法：
符号 表示函数； 叫做自变量（independent variable），是函数 的输入； 是因变量（dependent variable），是函数 关于 的输出。如下图所示。
函数函数的执行过程
显然， ，集合 中所有可以作为自变量的元素构成了函数的定义域（domain）； 的所有输出所构成的集合称为值域（range），值域则必然是集合 中的元素，即 。
对应关系函数中定义域集合与值域集合的元素对应关系
例如函数 的定义域是 ，值域是 。
函数图像
除了用表达式表示函数之外，还会用图像表示函数。以二维的为例，函数的每个自变量与因变量可以构成笛卡尔直角坐标系中的一个点。
按照上式，将所有点连成线，即为函数图像。例如函数 的图像：
函数图像分段函数
有时一个函数别划分为几部分，各个部分的函数形式不同，例如：
增函数和减函数
定义 令区间 上的函数为 ，和 是这个区间上两个不同的点幂函数图像，且 ：
函数的奇偶性
定义 设函数 ， 在函数定义域内：
例如：函数 ， ，故为偶函数。如果将 与 相比较，如下图所示，即是 沿 轴向上移动一个单位得到了 。
函数平移比较
并且，从图像中可以看出来，偶函数是关于 轴对称的函数，这个结论可以推广到所有的偶函数中。
再如：函数 ，显然是一个奇函数，如下图所示，奇函数的特点是关于坐标原点对称。但是幂函数图像，函数 ，虽然也可以看做是函数 向上移动一个单位，但 ，故它不是奇函数，也不是偶函数——由此可知，函数并非是奇函数和偶函数的并集——“不是奇函数，就是偶函数”，这句话是错误的。
奇函数和 y=x+1 比较常见函数
线性函数： （注意，要区分此处的“线性函数”和“线性空间”，具体请参阅《机器学习数学基础》一书中的详细内容）。
反比例函数：
指数函数： ，其中 是常数。
， 是正整数，下图分别表示了 的函数图像。
指数是正整数的指数函数比较
， 或
当 时，即 ，是反比例函数，其图像如下。此函数等效于 ，注意 。并且是奇函数。
反比例函数
当 时，即 ，且为偶函数。其图像如下所示：
a=-2 时的函数图像
这几种结果，分别对应常用的函数，其图像如下所示：
几种常见指数函数比较
多项式： ，其中 为非负整数， 是实数，称为多项式的系数。多项式的定义域为 。若系数 不为零，则 称为多项式的次或阶。前面所说的线性函数 ，若 ，则为 次多项式；如果多项式的次数（阶数）是 ，即为二次函数，常表示为 。
有理函数： ，其中 和 分别是多项式， 。例如：
一个有理函数
代数函数：对多项式利用代数运算符（加减乘除和幂运算）进行组合。所有的有理函数都是代数函数，但代数函数的范畴比有理函数更大。例如下图所示就是代数函数 的图像。
代数函数图像
三角函数：例如 ，后续内容会专门介绍常用的6个三角函数。
幂函数： ，其中 且 ，称作底。定义域 ，值域 。后续会专门探讨幂函数。
对数函数： ，其中 是正数，它的反函数是幂函数。在后续内容中会专门对此进行探讨。
超越函数：其形式不是代数的，包括三角函数、反三角函数等。例如悬线就是一种超越函数。后续内容中也会专门对此进行研究。
（待续）
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